Apprivoiser le théorème de Thalès

Ce célèbre théorème semble rebuter un certain nombre d'élèves. Je viens de retrouver dans une vieille revue épuisée de 1996 un article de nature à les aider.

Un messager

Le théorème de Thalès   sert à envoyer des informations d'une droite à une autre. Comment ? En suivant des parallèles.On peut utiliser la comparaison d'une échelle.

Le message porté par les rayons parallèles ne concerne pas les longueurs elles-mêmes, mais comme il manque un barreau entre E et F, la distance EF est le double de la distance DE. Alors les rayons parallèles portent ce message sur la droite ombre : on aura aussi
ef = 2ed.

On peut aussi écrire
EF/ED = ef/ed = 2.

Les rayons parallèles transportent tout ce qui concerne les rapports entre les longueurs d'une droite à une autre.

Même si on ignore la valeur du rapport, par exemple comment se situe le point K , le théorème de Thalès nous informe que :

DK/DE = dk/de (évidemment Kk et Dd sont parallèles !)

Une égalité entre deux rapports peut cependant se modeler sous différentes formes grâce à des propriétés de calcul et non de géométrie.

Ainsi : DF/DE = df/de peut aussi s'écrire df/DF = de/DE

Il apparaît alors des rapports "longueur de l'ombre sur longueur de l'objet" qui ne dépendent pas des segments choisis. Par exemple avec les points de la figure on peut écrire :

 de/DE = dk/DK = df/DF = ek/EK...

Ce cas est le plus fréquent au collège et le dessin est souvent limité à un triangle. Ainsi dans le triangle ABC, le côté BC peut être considéré comme l'ombre du côté BA, et E comme l'ombre de D. On peut donc écrire 

BE/BD = BC/BA = EC/DA

Comment l'utiliser

Ce théorème sert à montrer des égalités entre rapports ou, en sens inverse (c'est le théorème réciproque), pour montrer que des droites sont parallèles.

D et E étant des points situés sur les côtés du triangle ABC, si on sait que
DB/DA = EB/EC
alors les droites (AC) et (DE) sont parallèles.

Puisque le théorème de Thalès transporte un message d'une droite à l'autre, il peut aussi, de nouveau, porter un message de la seconde droite à une troisième. Il y a alors une droite intermédiaire servant de relais et une figure plus compliquée puisqu'il y aura deux directions de rayons parallèles.
On peut s'aider en repassant en couleur une figure de Thalès extraite d'un dessin compliqué. Voici un exemple en bande dessinée :

Dans la figure ci-contre, on sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles, et les droites (FD) et (GE) aussi.Si on sait que AB est y fois BC, pourquoi peut-on en déduire que AH est aussi y fois HJ ?

Les points A, B, C envoient leur message sur la droite (AE) donc AD est y fois DE.

Les points A, D, E envoient leur message sur la droite (AG) donc AF est y fois FG.















Puisqu'il y a le même message sur les droites (AG) et (AC) cela veut dire que les droites colorées en gris sont aussi parallèles.

Donc elles transportent aussi le même message sur la droite (AJ) : AH est y fois HJ.
Un vrai jeu de piste en somme !